Три работы на степень доктора
Первая из работ, представленных Ковалевской на соискание степени «К теории уравнений в частных производных», содержит доказательство теоремы существования голоморфного решения системы уравнений с частными производными нормального вида. Правда, Коши еще в 1842 году дал теорему существования для линейной системы уравнений с частными производными и указал, как привести к этому случаю нелинейную систему. Однако Ковалевская, как и Вейерштрасс, не знала этих работ Коши.
Но доказательство Ковалевской оказалось проще доказательства Коши, и, по словам Пуанкаре, она дала теореме ее окончательную форму. Теперь эта теорема входит в основные курсы анализа.
Многих занимал вопрос о степени самостоятельности Софьи Ковалевской при разработке этой темы, поставленной Вейерштрассом. По этому поводу Вейерштрассе писал: «В диссертации, о которой идет речь, я не принимал другого участия, кроме того, что поставил задачу перед автором».
Вторая работа, представленная Ковалевской для присуждения степени доктора философии, относится к вопросу о форме кольца Сатурна. Это «Дополнения и замечания к исследованию Лапласа о форме кольца Сатурна». Она был посвящена следующей задаче: заполненное однородной массой кольцо, происходящее от вращения эллипса вокруг прямой, не пересекающей его, но лежащей в его плоскости и параллельной одной из его главных осей, вращается с постоянной угловой скоростью вокруг этой прямой; Поверхность кольца покрыта бесконечно тонким слоем однородной жидкости, которая притягивается кольцом и, кроме того, центральным телом, центр тяжести которого совпадает с центром кольца. Спрашивается, могут ли быть определены элементы кольца (полуоси эллипса и расстояние его центра до оси вращения) и его угловая скорость так, чтобы жидкость сохраняла положение равновесия относительно поверхности кольца.
Третьей из представленных работ была статья «О приведении одного класса абелевых интегралов третьего ранга к интегралам эллиптическим». Для этой задачи, как считается, не требовалось больших творческих способностей, но нужно было основательное знакомство с теорией абелевых функций, одной из труднейших теорий математического анализа.
Ковалевская-писатель
Кроме математики Ковалевскую с детства привлекало литературное творчество. Литературный талант Ковалевской высоко оценивался при ее жизни, ее литературная деятельность находит широкое признание и в настоящее время.
Сама Ковалевская писала об этом своем увлечении: «Я понимаю, что вас так удивляет, что я могу заниматься зараз и литературой, и математикой. Многие, которым никогда не представлялось случая более узнать математику, смешивают ее с арифметикою и считают ее наукой сухой. В сущности же это наука, требующая наиболее фантазии, и один из первых математиков нашего столетия говорит совершенно верно, что нельзя быть математиком, не будучи в то же время и поэтом в душе. …Мне кажется, что поэт должен только видеть то, чего не видят другие, видеть глубже других. И это же должен и математик».
Ковалевская с детства верила: все поступки и действия людей предопределены, однако в определенные моменты делать судьбоносный выбор приходится каждому человеку. Именно эти мысли легли в основу романа «Борьба за счастье. Две параллельные драмы». Софья Ковалевская написала его в соавторстве со своей подругой — шведской писательницей Анной Шарлоттой Лефлер-Эдгрен.
Роман Ковалевской «Нигилистка» был запрещен в царской России. Он был напечатан уже в советское время, в 1928 году. В этом произведении излагается история девушки, стремление которой принести пользу народу участием в деятельности революционных кружков привело к тому, что она вышла замуж за совершенно незнакомого ей человека, осужденного революционера, чтобы облегчить его тяжелую участь. Прототипом героини романа была Вера Сергеевна Гончарова, племянница жены Пушкина H. Н. Гончаровой. Она обращалась к Софье Васильевне, у которой был контакт с революционерами, с просьбой ввести ее в революционные кружки.
В 1889 году в Швеции вышла еще одна повесть Софьи Ковалевской ― «Воспоминания детства», которая признана, пожалуй, самой яркой ее книгой. В ней Ковалевская рассказывала о своем детстве, жизни в родительском доме, о быте и нравах дворянской семьи.
А в письме к М. В. Мендельсон-Залеской от 7 октября 1890 года Ковалевская сообщает, что пишет повесть о Чернышевском, которую она не успела закончить.
Некоторые свои произведения она писала на шведском языке, как например, повесть «Vae victis» и роман «Семья Воронцовых». Произведения Ковалевской появлялись в столичных журналах «Вестник Европы», «Русская мысль» и «Северный вестник» и выходили отдельными книгами.